一种较弱的局部的凸性蕴含强凸性

设开集 , 在 上半连续, 如果对任何 都存在 , 使得

证明 是 上的凸函数.

证明

对 , 满足 , 令

现在有

如果存在 , 使得 , 那么记

显然 是 中的紧集, 设 的最大值点 , 则 , 现在运用条件, 我们知道存在充分小的 , 使得

于是对这个 , 我们有

这是一个矛盾！因此

因此

而半连续的中点凸(jensen凸)函数一定凸, 因此我们证明了 是凸函数.