傲天居士

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2022/08/18阅读:27主题:默认主题

强基计划物理专题-微元法或微分方程

1. 强基计划数学物理模拟卷

本人出了一套强基计划数学物理模拟试题,适合有一定基础的高考生。由于本人水平有限,若存在疏漏还请诸位大佬批评指正!

2. 微分方程求解运动过程

对应到模拟卷第8题

2.1 已知

小球上升阶段的动力学方程为:

分离处理可得:

积分可得:

其中 表示上升过程用时。

解得:

做变换:

其中 表示小球上升的高度

分离常数得:

积分得:

解得:

对于小球下降过程,我们首先需要考虑小球有无可能达到匀速运动阶段。

容易知道,小球匀速运动阶段有 ,那么需要探讨小球从静止到速度达到 的过程,下降的高度 的数量关系。若 ,则小球在下降过程会先加速运动,后匀速运动。若 ,则小球下降过程会一直加速运动。

小球从最高点下降直至速度达到 的动力学方程为:

做变换:

其中 表示小球下降的高度

分离常数得:

积分得:

其中 为小球速度达到 时下降的高度。 化简得:

考虑 的过程,此时等式左边趋于负无穷,因此 趋于正无穷,那么我们不难得出,对于 的情形,小球从最高点下降的过程,速度会无限接近 ,即一直处于加速运动状态(加速度最终无限接近0)。

有了上面的分析,我们很容易知道,小球下降过程始终有 ,即小球下降过程不可能出现匀速运动阶段。

2.2 已知

首先考虑上升阶段,此阶段小球的动力学方程为:

分离处理可得:

积分可得:

其中 表示上升过程用时。

解得:

做变换:

其中 表示小球上升的高度

分离常数得:

积分得:

解得:

对于下降过程,我们同样考虑小球在下降过程中是否存在匀速运动过程。匀速运动时小球速度 满足 。探讨小球从静止到速度达到 的过程,下降的高度 的数量关系。若 ,则小球在下降过程会先加速运动,后匀速运动。若 ,则小球下降过程会一直加速运动。

小球从最高点下降直至速度达到 的动力学方程为:

做变换:

其中 表示小球上升的高度

分离常数得:

积分得:

化简得:

考虑 的过程,此时等式左边趋于正无穷,因此 趋于正无穷,那么我们不难得出,对于 的情形,小球从最高点下降的过程,速度会无限接近 ,即一直处于加速运动状态(加速度最终无限接近0)。

有了上面的分析,我们很容易知道,小球下降过程始终有 ,即小球下降过程不可能出现匀速运动阶段。对于小球下降过程的动力学方程:

分离处理可得:

积分可得:

其中 表示下降过程用时, 表示小球第一次回到地面时的速度大小。

解得:

又由小球第一次回到地面时的关系式:

代入可解得

代入即可解得

分类:

数学

标签:

数学

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