全纯凸域

回顾一下上文的最后一个定理

定理1:设 是一个开集, 如果 是欧式凸的,则 是全纯域.

此定理的逆是不成立的,这在 时就有大量的反例.这表明全纯域的概念比欧式凸要广得多.另外,从全纯域的定义知道对于全纯坐标变换,全纯域是不变的;但是对于欧式凸则不然,除非是复线性变换. 例如, 在复平面 中利用Riemann映射定理我们知道,任意与 不相同的单连通区域都与单位圆盘解析同胚, 但单位圆盘是欧式凸域,而与 不相同的单连通区域显然可以不是欧式凸域.

尽管全纯域不一定是欧式凸域,但是利用定理1, 欧式凸域仍然为全纯域的研究提供了基本模型和重要启示. 我们现在的问题是能否将关于欧式凸域的各种各样不同的判别条件用解析函数或者用在解析同胚下不变的一些条件来取代,从而得到关于一个区域是否是全纯域的各种判别方法,下面我们要引入全纯凸的定义,这种凸性正好刻画了全纯域.

如果 是 中的开集, 为 中的一个紧集,

其中 是任一实值线性函数, 这个 就称为 的凸包. 如果 是欧式凸的,则不难看出在 中每个紧集 的凸包 都一定是紧的,而且 本身是欧式凸的.此时则有 , 每个 都是紧凸的且 . 在上面这个凸包的定义中,如果我们用比所有线性函数集更大的集合来代替线性函数的集合,而且要求这个更大的集合是在全纯坐标变换下不变的,那么这样所类似定义的\textbf{凸包}的性质也是在全纯坐标变换不变,这自然就想到了下面全纯凸的概念.

定义2: 令 是 中的开集, 是 中的一个紧集, 的全纯凸包 为

如果对 的任意紧集 , 它的全纯凸包 都是紧集,就称 是全纯凸的.

这个定义完全是前面用线性函数定义的凸性的极其简单的推广,这里用绝对值取代以前的 是自然的,因为

这里 , 是一个复值线性函数,所以有

下面给出1932年证明的Cartan-Thullen定理. 定理(Cartan-Thullen) 设 是 中的开集,则如下条件等价:

(1) 是全纯域;

(2) 是全纯凸的;

(3)存在 上的一个全纯函数 , 它的自然定义域就是 .

证明: 我们仅证明 是有界的简单情形,其他情形无本质困难.

(3) (1)是显然的.

(1) (2) 我们引入 个记号. 是 个非负整数,并记

设 是 中的任一集合,定义 , 这里 是 与 之间的欧式距离. 如果 是 中的紧集,自然 . 按照 的定义, 是 中的闭集,如果能证明 , 则 是紧的. 事实上有 .

对任意的满足 的 , 作

由多圆柱的Cauchy积分公式,我们有

而由 的定义与上式,

因此对 (这里 )是在以 为中心, 为半径的多圆柱中收敛的. 因为对 这个事实均成立而 又是全纯域,所以必有 , 故 . 这就是证明了 , 故 必为紧. 这里 是 上所有全纯函数所成的集合.

(2) (3) 是全纯凸的, 我们可以在 中选取一个点列 和一族紧集 , 使之满足:

1. ,

2. 使 的每点都是它的聚点;

再由 是全纯凸与 , 得到对每个 存在一个 , 使 . 将这个 乘上适当的幂次与常数,可以所取 满足

和

这里 是一个任意小的正数列,且 .

构造 , 它是在 内收敛的,记为 , 则

对 , 取 的子序列 , 由 , 如果 可以沿 延拓出去,则由连续性, , 这里 可趋于 . 故 对 都成立. 因此在 的小邻域中 . 再由唯一性定理,则 在 上恒为零. 这与 是矛盾的. 因此 不可能沿 的任何点延拓出去.

上面(2) (3)的证明主要想法是:一个在 上有太多零点的非零全纯函数是不可以延拓的. 上面构造的 就是这样的函数. 下面我们再证明对判断某一个域是否为全纯域较为有用的一个定理.

定理: 域 是全纯凸当且仅当对任意 , 存在 使得 是无界的.

证明: 如果 不是全纯凸,则存在 中的紧集 , 使 不是紧的,那么存在 , , 故 有界.

设 , , , . 可以假定 , 当 时,根据全纯凸的定义,对每个 , 可选取 使得

与  

则 在域 内收敛. 令 , 则由 的性质以及上式,有

故 无界.

推论: 复平面 中,任意区域都是某一解析函数的自然定义域.