g

gqzhang

V1

2022/12/06阅读:28主题:默认主题

伊藤积分是鞅

伊藤积分的趋势

伊藤积分 是没有向上向下的趋势的,换句话说它关于布朗运动的信息集 是一个鞅,即对于任意的 ,

这个结果可以通过伊藤积分的定义得到证明。一个不严谨但是直观的证明如下:我们可以考虑增量 ,它的条件期望是:

在这个积分里: 。对于内层期望,由于 足够确定 ,所以 。又由于 独立于 (布朗运动具有独立增量性质),我们有 。综合起来看,我们就得到 。又因为 的信息足以确定 (可以很容易验证 也是一个适应过程(Adapted process)),

假如 描述的是某种资产的价格,而 代表一个交易策略(即在时间 ,持有 这么多资产),那么累计收益或亏损就是 。以上结果表明,无论采取什么策略 ,累计收益或亏损都没有向上或向下的趋势,也就是数学期望上,任何只使用过去信息的策略的平均收益为

把布朗运动换成其他的鞅过程(任意时刻都没有向上或向下的趋势),也可以根据以上的做法说明上述结果是成立的。这告诉我们的是,在没有前瞻性观点的情况下,不要试图通过交易一种没有趋势的资产获取平均正收益。

分类:

数学

标签:

数学

作者介绍

g
gqzhang
V1