数据截断及估计

继上文“滤波及失真”之后，我们还需要考察的问题是，是否能够使用被截断的信号来估计出原始信号。当然，这里的反推并不是完全的还原，因为对于随机信号来讲，我们往往更关注它的统计特性，而非具体取值。这就要在频谱上做文章。

被截断信号的频谱

真实信号往往具有较为零乱的功率谱。而当信号被截断之后，功率谱会相应的缩短。

简单来说，对于一段信号，

它的 FFT 变换（由于真实信号往往不会是周期信号，因此忽略傅立叶级数）总可以表示为

也就是说，一段数字信号经过 FFT 变换得到的功率谱的长度与它本身的长度是相同的。也因此当信号被截断之后，小段信号的功率谱会缩短相应的长度。

此时，如果我们采用这样的假设，我们假设小段信号的之间是“相似”的，也就是说，我们认为随机信号是平稳的，对它在不同的时间段进行采样时，这些采样信号具有相同的数字特性。那么我们就希望能够小段信号中还原出原始信号。

具体的做法其实就是插值。我们假设原始的信号具有功率谱

那么截断（截成 M 段）就相当于对它进行降采样

因此，最直观的想法是我们就按照截断的顺序将降采样的功率谱放回去就可以了

下面看看效果，虽然数据中难免会有由于截断引起的边缘效应，但截断的短数据仍旧可以较大程度的还原原始信号的分布特性。从不同频率的比较来说，截断效应随着频率的降低而减小。

High freq.

Middle freq.

Low freq.

本文的代码可见我的前端笔记本

Reconstruction by segments^[1]

前端程序可以选择多种噪声形式以及滤波的窗函数。

[1]

Reconstruction by segments: https://observablehq.com/@listenzcc/reconstruction-by-segments