淦数学

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2022/05/04阅读:22主题:草原绿

1960年高考数学真题

试卷综述

本套试题有11道题,自1959年数列进入高考试卷以来,数列又出现在了高考试卷上面了,今年的这道数列试题是教材的一道例题,排列组合时隔九年再次出现在高考试卷上面,单独作为一道题而存在,每年知识点的考察范围不一样,侧重点也不一样;三角函数仍然是一个考察重点内容,主要是三角里面的公式太多了,形式可以多种多样,近几年都是跟方程在一起进行。

具体如下图:

表格来自自己整理
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有训练价值的题及适用范围

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自己动手先做一做

2.有5组蓝球队,每组6队,首先每组中各队进行单循环赛(每两队赛一次),然后各组冠军再进行单循环赛,问先后比赛多少场?

3.求证等比数列各项的对数组成等差数列(等比数列各项均为正数).

4.求使等式 成立的x值的范围( 的角).

5.如图,用钢球测量机体上一小孔的直径,所用钢球的中心是 ,直径是 ,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离 ,求这小孔的直径 的长

6.四棱锥 的底面是一个正方形, 与底面垂直,已知 的距离是 ,求 的长

7.有一直圆柱高是 ,底面半径是 ,它的一个内接长方体的体积是 ,求这长方体底面的长与宽.

8.从一船上看到在它的南 东的海面上有一灯塔,船以 里/小时的速度向东南方向航行,半小时后,看到这个灯塔在船的正西,问这时船与灯塔的距离(精确到 里)

9.要在墙上开一个矩形的玻璃窗,周长限定为 米。 (1)求以矩形的一边长 表示窗户的面积y的函数; (2)求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程; (3)画出这函数的图像,并求出 的允许值范围。

10.已知方程 的两个根相等,且 为锐角,求 和这个方程的两个根

正文

1.解方程 (限定在实数范围内)

【解题笔记】根式方程的求解,想办法把根式去掉,移项,左右两边平方,解相应的整式方程,最后结果一定要检验

  • 类似题目
    • 1952·全国·4 若 ,问

    • 1958·全国·6 解方程组

2.有5组蓝球队,每组6队,首先每组中各队进行单循环赛(每两队赛一次),然后各组冠军再进行单循环赛,问先后比赛多少场?

【解题笔记】排列组合问题,分步计数原理,第一步:先每组6队从中取2对比赛,那么就有 ;第二步:每组的冠军进行比赛,有

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    • 1951·全国·5 试题10道,选答8道,则选法有几种?

3.求证:等比数列各项的对数组成等差数列(等比数列各项均为正数).

【解题笔记】又是一道入选普通高中教科书(2019)人教A版教材的高考题,出现在选择性必修二第32面,教材上的思考部分,如下图,思考部分的例题是这个问题的特例,这道问题的证明可以参考教材上的证明方式

电子教材截图
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上一道是1957年的第四题,高考考题对教材的影响很深啊,也从另一个角度看出教材例题和练习对高考有一定的影响。

4.求使等式 成立的 值的范围( 的角).

【解题笔记】要使等式 成立,必须使 ,这就转化成为三角不等式,利用三角函数图像找角的范围即可

5.如图,用钢球测量机体上一小孔的直径,所用钢球的中心是 ,直径是 ,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离 ,求这小孔的直径 的长

几何画板作图
几何画板作图

【解题笔记】垂径定理的应用,在立体几何中经常用

6.四棱锥 的底面是一个正方形, 与底面垂直,已知 的距离是 ,求 的长

【解题笔记】画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

证明 ,再利用勾股定理进行求解即可。

7.有一直圆柱高是 ,底面半径是 ,它的一个内接长方体的体积是 ,求这长方体底面的长与宽.

【解题笔记】长方体底面的长是 ,宽是 .根据长方体体积可以列一个方程,底面圆直径是地面长方形的对角线,根据勾股定理,列出另一个方程,再解这个方程组即可。

8.从一船上看到在它的南偏东 的海面上有一灯塔,船以 里/小时的速度向东南方向航行,半小时后,看到这个灯塔在船的正西,问这时船与灯塔的距离(精确到 里)

【解题笔记】像这样没有图的问题,先作图,在求解,画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

令船位于点 ,看到灯塔 ,半小时后船沿 方向行至 ,根据题意可以知道 , , ,利用正弦定理求解即可

9.要在墙上开一个矩形的玻璃窗,周长限定为 米。 (1)求以矩形的一边长 表示窗户的面积y的函数; (2)求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程; (3)画出这函数的图像,并求出 的允许值范围。

【解题笔记】初三难度的题目,二次函数的基本考察。都是很基础的东西

10.已知方程 的两个根相等,且 为锐角,求 和这个方程的两个根

【解题笔记】判别式等于0,得到一个关于 的方程一元二次方程,解这个方程即可,最后注意角的范围。

  • 类似问题
    • 1957·全国·9 求证:方程 的一个根是1.设这个方程的三个根是 的三个内角的正弦 ,求 的度数以及 的值.

    • 1958·全国·9 已知直角三角形的斜边为 ,斜边上的高为 ,求证此直角三角形的两个锐角是三角方程 的根

11. 为何值时,下列方程组的解是正数?

【解题笔记】将 看成已知的,将 表示,根据解是正数,得到关于 的不等式组,求解这个方程组即可,初二的知识。

分类:

数学

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