概率论告诉你为什么不能赌球

最近世界杯开打，赌球之风又起。我们都听过小赌怡情，大赌伤身，久赌必输的说法，那么从概率的角度，我们如何理解这种现象呢？

假设初始我们有 元钱，第 局的输赢是一个随机变量 。

不失一般性，我们假设 为正整数， 只能取 或 ，其中 代表输掉 元， 代表赢得 元。

也就是说 代表第 局的损失。

另外假设不同的 是独立同分布的， 的期望记为 ，即：

一般来讲，每一局的期望损失 为正。这是因为有抽水、普通人的信息劣势等因素。

只有当预测能力强到能够弥补这些劣势的时候，期望损失 才有可能为负，即在平均意义上盈利。达到这种要求的难度自然是极大的。

截止到第 局，我们的累积损失为：

当累积损失击穿初始财富的时候，我们被迫出局。亏光出局的时间为 ，数学上可以定义为：

我们现在感兴趣的是亏光出局时间 的一些分布性质。

是一种停时 (Stopping time)，其含义是站在任意一个时刻，根据当前积累到的信息，我们都能判断停时所代表的事件是否已经发生。

在我们的例子里，在任意时刻，我们都能根据过往的累积损失判断亏光出局这一事件是否已经发生。

关于停时的一个重要结果是可选抽样定理 (Optional sampling theorem)：

如果关于信息集 ， 是一个鞅过程， 是一个停时， 存在一个常数 使得 或者 对于任意时间 ， 的概率为 ， 那么 。

应用这个定理，我们需要构造以下这个鞅：

可以注意到对于任意固定的时间 , 也是一个停时，这个停时是有界的，所以我们可以用可选抽样定理，即：

考虑 ，且 的情况。

• 如果 ，那么

所以

• 如果 ，那么

注意到 ，所以这种情况下

综上：

根据控制收敛定理，

将 移到右边，

那么

• 如果期望损失 。 固定 为一个小量，那么

注意到 ，根据单调收敛定理

即几乎一定会在有限时间内亏光出局。

在这种情况下：

通过对两边 求导，然后令 ，我们可以求得亏光出局时间的期望为：

• 如果期望损失 ，存在一个 使得

即期望盈利为正，那么

这是一个介于 和 的值，我们依然有一定的概率会亏光出局。

根据我们的推导，即使不是久赌必输，久赌亏光的概率也是不可忽视的。