g

gqzhang

V1

2022/12/01阅读:45主题:默认主题

概率论告诉你为什么不能赌球

最近世界杯开打,赌球之风又起。我们都听过小赌怡情,大赌伤身,久赌必输的说法,那么从概率的角度,我们如何理解这种现象呢?

假设初始我们有 元钱,第 局的输赢是一个随机变量

不失一般性,我们假设 为正整数, 只能取 ,其中 代表输掉 元, 代表赢得 元。

也就是说 代表第 局的损失。

另外假设不同的 是独立同分布的, 的期望记为 ,即:

一般来讲,每一局的期望损失 为正。这是因为有抽水、普通人的信息劣势等因素。

只有当预测能力强到能够弥补这些劣势的时候,期望损失 才有可能为负,即在平均意义上盈利。达到这种要求的难度自然是极大的。

截止到第 局,我们的累积损失为:

当累积损失击穿初始财富的时候,我们被迫出局。亏光出局的时间为 ,数学上可以定义为:

我们现在感兴趣的是亏光出局时间 的一些分布性质。

是一种停时 (Stopping time),其含义是站在任意一个时刻,根据当前积累到的信息,我们都能判断停时所代表的事件是否已经发生。

在我们的例子里,在任意时刻,我们都能根据过往的累积损失判断亏光出局这一事件是否已经发生。

关于停时的一个重要结果是可选抽样定理 (Optional sampling theorem):

如果关于信息集 是一个鞅过程, 是一个停时, 存在一个常数 使得 或者 对于任意时间 的概率为 , 那么

应用这个定理,我们需要构造以下这个鞅:

可以注意到对于任意固定的时间 , 也是一个停时,这个停时是有界的,所以我们可以用可选抽样定理,即:

考虑 ,且 的情况。

  • 如果 ,那么

所以

  • 如果 ,那么

注意到 ,所以这种情况下

综上:

根据控制收敛定理,

移到右边,

那么

  • 如果期望损失 。 固定 为一个小量,那么

注意到 ,根据单调收敛定理

即几乎一定会在有限时间内亏光出局。

在这种情况下:

通过对两边 求导,然后令 ,我们可以求得亏光出局时间的期望为:

  • 如果期望损失 ,存在一个 使得

即期望盈利为正,那么

这是一个介于 的值,我们依然有一定的概率会亏光出局。

根据我们的推导,即使不是久赌必输,久赌亏光的概率也是不可忽视的。

分类:

数学

标签:

高等数学

作者介绍

g
gqzhang
V1