最近世界杯开打，赌球之风又起。我们都听过小赌怡情，大赌伤身，久赌必输的说法，那么从概率的角度，我们如何理解这种现象呢？

假设初始我们有元钱，第局的输赢是一个随机变量。

不失一般性，我们假设为正整数，只能取或，其中代表输掉元，代表赢得元。

也就是说代表第局的损失。

另外假设不同的是独立同分布的，的期望记为，即：

一般来讲，每一局的期望损失为正。这是因为有抽水、普通人的信息劣势等因素。

只有当预测能力强到能够弥补这些劣势的时候，期望损失才有可能为负，即在平均意义上盈利。达到这种要求的难度自然是极大的。

截止到第局，我们的累积损失为：

当累积损失击穿初始财富的时候，我们被迫出局。亏光出局的时间为，数学上可以定义为：

我们现在感兴趣的是亏光出局时间的一些分布性质。

是一种停时 (Stopping time)，其含义是站在任意一个时刻，根据当前积累到的信息，我们都能判断停时所代表的事件是否已经发生。

在我们的例子里，在任意时刻，我们都能根据过往的累积损失判断亏光出局这一事件是否已经发生。

关于停时的一个重要结果是可选抽样定理 (Optional sampling theorem)：

如果关于信息集，是一个鞅过程，是一个停时，存在一个常数使得或者对于任意时间，的概率为，那么。

应用这个定理，我们需要构造以下这个鞅：

可以注意到对于任意固定的时间 , 也是一个停时，这个停时是有界的，所以我们可以用可选抽样定理，即：

考虑，且的情况。

所以

注意到，所以这种情况下

综上：

根据控制收敛定理，

将移到右边，

那么

注意到，根据单调收敛定理

即几乎一定会在有限时间内亏光出局。

在这种情况下：

通过对两边求导，然后令，我们可以求得亏光出局时间的期望为：

即期望盈利为正，那么

这是一个介于和的值，我们依然有一定的概率会亏光出局。

根据我们的推导，即使不是久赌必输，久赌亏光的概率也是不可忽视的。