外微分形式

设 是一个域 ( 或 )上的 维线性空间. 现在考虑 的 重多线性反对称函数. 这里多线性指对每个变量都是线性的,即对 ,

其中, , , 反对称是指对 ,

因为 是一个 维线性空间, 设 是 的一组基,则有 , 从而

令 , 则由 的反对称性可以知道 关于指标 是反对称的,即

对每个 来讲,只要知道 就知道了 . 对 维的 来讲, 只有在 时才有意义,因为当 的外微分形式只能维零. 因为若 , 则 , 因此

由于 中有两个相同的 , 由反对称知 , 因此 .

现在用 表示 上的 次外形式的集合,则显然上面有一个自然的加法和数乘运算,

其中 . 因此 就是 上的一个线性空间. 另外,对 且 时,可以有一个外乘运算

的定义如下: ,

其中 是广义Kronecker符号,它是 的简化,其具体意义如下:

按定义, 对每个变量都是 线性的,下面主要验证 对变量的反对称性,当 时,

因此,上述外积确实将一个 形式与一个 形式外积为一个 形式.

对 , , 这些系数 当然直接取决于 的基的选取. 因此, 是基 的系数. 现在如果有 上的另一组基 且有表示式

则 关于基 的系数为

这就是对两个不同基外形式系数之间的关系等式.这个关系表示 是几何上的 阶逆变张量.

设 是 的一组基, ( 是 的对偶空间,是 的所有线性函数所组成的集合,它同样是 上的 维空间), 称为 的对偶基, 如果有

则 , 有一个标准的表示式

其中 .

因为对 , , 则

而根据外形式外积的定义

其中, 是 方阵. 现在再展开 , 将此代入上式就得到

这就证明了 可以有一个标准的表达式

现在设 是一个 维的微分流形, 表示 上的光滑向量场所成的空间,若