复流形
2023/01/01阅读:24主题:山吹
外微分形式
外微分形式
设 是一个域 ( 或 )上的 维线性空间. 现在考虑 的 重多线性反对称函数. 这里多线性指对每个变量都是线性的,即对 ,
因为 是一个 维线性空间, 设 是 的一组基,则有 , 从而
令 , 则由 的反对称性可以知道 关于指标 是反对称的,即
对每个 来讲,只要知道 就知道了 . 对 维的 来讲, 只有在 时才有意义,因为当 的外微分形式只能维零. 因为若 , 则 , 因此
由于 中有两个相同的 , 由反对称知 , 因此 .
现在用 表示 上的 次外形式的集合,则显然上面有一个自然的加法和数乘运算,
其中 . 因此 就是 上的一个线性空间. 另外,对 且 时,可以有一个外乘运算
的定义如下: ,
其中 是广义Kronecker符号,它是 的简化,其具体意义如下:
按定义,
因此,上述外积确实将一个
对
则
这就是对两个不同基外形式系数之间的关系等式.这个关系表示
设
则
其中
因为对
而根据外形式外积的定义
其中,
这就证明了
现在设