外微分形式

设是一个域 ( 或 )上的维线性空间. 现在考虑的重多线性反对称函数. 这里多线性指对每个变量都是线性的,即对 ,

其中, , , 反对称是指对 ,

因为是一个维线性空间, 设是的一组基,则有 , 从而

令 , 则由的反对称性可以知道关于指标是反对称的,即

对每个来讲,只要知道就知道了 . 对维的来讲, 只有在时才有意义,因为当的外微分形式只能维零. 因为若 , 则 , 因此

由于中有两个相同的 , 由反对称知 , 因此 .

现在用表示上的次外形式的集合,则显然上面有一个自然的加法和数乘运算,

其中 . 因此就是上的一个线性空间. 另外,对且时,可以有一个外乘运算

的定义如下: ,

其中是广义Kronecker符号,它是的简化,其具体意义如下:

按定义, 对每个变量都是线性的,下面主要验证对变量的反对称性,当时,

因此,上述外积确实将一个形式与一个形式外积为一个形式.

对 , , 这些系数当然直接取决于的基的选取. 因此, 是基的系数. 现在如果有上的另一组基且有表示式

则关于基的系数为

这就是对两个不同基外形式系数之间的关系等式.这个关系表示是几何上的阶逆变张量.

设是的一组基, ( 是的对偶空间,是的所有线性函数所组成的集合,它同样是上的维空间), 称为的对偶基, 如果有

则 , 有一个标准的表示式

其中 .

因为对 , , 则

而根据外形式外积的定义

其中, 是方阵. 现在再展开 , 将此代入上式就得到

这就证明了可以有一个标准的表达式

现在设是一个维的微分流形, 表示上的光滑向量场所成的空间,若

满足

(1)对是一个阶外形式.

(2)当时, 是一个光滑函数, 则这样的就称为是的开集上的一个阶外微分形式. 如果 , 就称之为上的一个次外微分形式. 如果 ,就称之为上的一个次外微分形式.

现在如果上有局部坐标 , 显然 , 而且对 , . 因此是上的一个标架场,它的对偶是上一个余标架场,因而可以有一个标准的表示

而是上的光滑函数,并且其关于指标是反对称的.

如果是一个标架场, 是它的对偶标架场,则也可以表示为

其中, 是关于基的的系数. 若 , 则显然有

而 , 则有如下表达式:

其中, 是的逆矩阵. 因此

这表示在不同的标架场的表示式都是相等的.

以后用表示上次外微分形式的集合. 显然, 对加法和数乘

成为一个线性空间. 另外,同样可以定义外积

无疑对 , 这是上的阶外形式. 而由定义,当时, 与都是光滑函数, 则是常数, 而有限的光滑函数的和自然也是光滑函数, 因此, 自然是上的阶外微分形式.

在外微分形式中还有一个重要的运算就是外微分算子运算,

它是一个线性算子. 以后就用来代替 , 如果外微分形式只在的开集上成立,就记为讨论的对象流形 . 对于 ,

其中, 表示去掉 , 首先验证是次外微分形式. 注意定义式右边显然是一个上的光滑函数. 由定义知道右边对变量确实是线性的. 于是对变量确实都是线性的. 因此, 主要验证上述定义的对变量是反对称的,即对有

要证明是反对称的, 这实际上只要证明相邻两个变量之间的置换是相差一个-1因子就可以了,因为与的对换可以通过相邻元素的奇数次的置换达到, 如通过次相邻元素的置换可以换到后面, 然后通过次相邻元素的置换可以换到之前;即原来的位置, 因为共通过次置换, 因而就差一个-1因子.

两个次外微分形式与相等,是指对任何向量场

由于其中与对每个变量都是线性的,因此,只要对与的任一组基 , 有

成立就可以了. 特别地, 对自然基地 , 只需验证下面的等式即可:

下面证明,当是用标准表达式表示时,

即要证明

由于这里 , 因而实际上只要计算

而计算上式左边

命题: , 恒有 .

证明: 设 . 按定义

其中,最后的等式是因为对是对称的, 而对是反对称的,因而对求和就等于0

对于复流形来讲,考虑

的多线性反对称函数.

如果现在是的局部自然标架场,则是的局部自然标架场. 因此,若令

则可以有表示式

为简单起见,今后用和分别表示 , , 和 , 则可以简单表示为

如果现在是的标架场, 是其对偶空间上的标架场,则也可表示为

其中 .

在复流形上要讨论形式,而不是一般地讨论次形式的原因是因为形式是对全纯坐标变换不变的,而在复流形上有如下的直和分解:

对于数乘和加法也成为一个上线性空,进一步讲, 是上的模.

对于与 , 当与时,同样可以定义它的外积如下:

对以及

如果对局部标架场 ,

则

对于一般的标架场,则有完全类似的表示.

前面已经对微分流形上定义外微分算子 ,而且永远有 , 其中的局部表示为 . 如果不是用自然标架场,而是对一般的标架场与其对偶标架场 , 则 . 对于为维复流形, 当是其局部坐标时,则 . 记 , , 则 . 如果用表示上的局部标架场,与是其对偶标架场, 则有 , 与 , 显然

另外由 , 因此, , , , 作用在形式上分别使其阶数增加 , 因而作用在形式上 , 等价于 .

下面的定理是众所周知的,在一般微分几何书中都可以找到它的证明,因此这里也仅给出陈述.

定理(Stokes公式) 设是维光滑微分流形, 是次外微分形式,如果是的任一维子流形,而且具有光滑(或逐段光滑)的边界 ,则有