Gabor 函数的参数空间-1

Gabor 函数是常用的数学函数，可以用来对多种物理现象进行表达。

函数在参数空间沿最短线移动时，与目标的距离先上升后下降，这导致梯度方法无法用于寻找到这条路径。

换句话说，Gabor 函数在参数空间中是非凸的。

开源代码可见我的前端笔记本

Parameter Space of Gabor^[1]

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• Gabor 函数的参数空间-1

  • Gabor 函数
  • 参数空间与图像绘制
  • 双向奔赴

Gabor 函数

这里引用的定义（Gabor Function - an overview | ScienceDirect Topics），简单来说它是受到高斯函数包络调制的三角函数。

A Gabor function is simply a sinusoid that has been windowed with a Gaussian. The frequency, orientation, and size of the function can be easily manipulated to produce a range of different model receptive fields. Given these functions, there are various ways in which one can extract measurements from an image to perform recognition.

它的数学表达式为

为了避免模型过于复杂，我们对函数值域和参数范围进行一些限制，这些限制是经过精心设计的，能够保持函数的多样性。

其中， 用于控制高斯函数的有效宽度，而在一般情况下，我们只关心函数在有效宽度内的形状，因此，我设定三角函数的频率与它构成倒数关系。在该设定下，我们总能够在有效宽度内获得 个完整的周期。而 则是将视野置于定义域的中心。

参数空间与图像绘制

接下来，我们可以找个前端，写几个函数就能够对 Gabor 函数的图像进行绘制，如下图所示。其中最大的波形图代表若干条不同参数的 Gabor 函数（用不同颜色的曲线来表示）。如图所示，这些函数具有一定的连续性。

函数图像

函数连续性背后的原因是参数具有连续性。参数连续性体现在左上角的参数空间中。左上角是参数空间的两个剖面，左侧剖面代表参数 的剖面，白色框代表参数空间的边缘；右侧剖面代表参数 的剖面，它用极坐标来表示，白色框同样代表参数空间的边缘。

至于右上角的矩阵，它代表任意两条曲线之间的二范数差异

其中，颜色越深代表距离越大。

另外如图所示的是，参数空间是这样排布的，首先找到两组相互独立的随机参数，之后在参数空间中对它们进行线性均匀插值。因此我们有理由相信，这些曲线在参数空间中构成一组等距线段。

双向奔赴

接下来，我们考虑一个问题，那就是

函数的参数空间与函数距离是否具有一致性？

这就需要进行量化分析，下图是量化分析的结果，其中左上角的图是距离矩阵的放大版本。但我们对这个矩阵进行分析之前，先考虑其中的一条直线，为了考察这条直线，我们设定最紫色的函数（左侧）是起始函数，最绿色的函数（右侧）是终点函数。因此右上角的图是起始函数向终点函数进行演变时，它的距离逐渐减小的动态过程。也就是说，右上角的图是左上角图的最下方的一条直线。

而这条线说明了一个问题，那就是

函数在参数空间沿最短线移动时，与目标的距离先上升后下降，这导致梯度方法无法用于寻找到这条路径。

换句话说，Gabor 函数在参数空间中是非凸的。

那么，接下来的问题是，如果我们的目的是在这个空间中寻找通往特定参数的路径，梯度方法能够找到次优路径吗？

函数图像与距离函数

（未完待续）

参考资料

[1]

Parameter Space of Gabor: https://observablehq.com/@listenzcc/parameter-space-of-gabor