增长方程的两个不变性

本文将在前文的基础上，对增长方程的性质进行简要分析，即从矩阵的行和列观点来看，分析它的两个不变性。分析和演示代码可见我的前端代码库

Generating the Optimized Production Matrix II^[1]

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• 增长方程的两个不变性^[2]

  • 增长方程^[3]
  • 行观点下的斜率不变性^[4]
  • 列观点的交点不变性^[5]
  • 无害声明^[6]

增长方程

在已知一个 向量和 值的条件下，求解生产矩阵 ，使其满足

其中， 。之前我们证明了，通过恰当的生成方法，可以得到大量的满足条件的生产矩阵。如果你是生产规划者，那么总能够在大量的生产选择中选择比较适合的生产矩阵，使其满足现有初始条件和预期增长率。那么我们将它写成矩阵乘法的形式，立即得到下式

当我们分别用行和列的观点来看这个式子时，会立即得到两个不变性。

行观点下的斜率不变性

首先改写线性方程

所谓行观点，就是将生产矩阵的两行看作两个点，它的两列分别为该点的横、纵坐标。为了分析方便，我们将第一行对应的点构成集合1，第二行对应的点构成集合2。由于 均为定值，因此集体1的点 满足

集合2的点 满足

可见这些点均位于斜率相同的直线上，直线的区别在于截距不同，下图展示两种典型情况。

列观点的交点不变性

还是改写线性方程

此时我们将两个列分别定义为集合3和集合4，其中集合3的点 满足

集合4的点 满足

还是由于 均为定值，我们总能找到这样两个实数，使得

因此，总有

其中， 为定值。上式说明两个集合中的点具有一一对应关系，且它们之间的连线总能交于一点，该的坐标为 ，下图展示两种典型情况。

无害声明

首先声明本文不是用 AI 写的，因为我命令它续写时，它给出了如下的车轱辘话。

首先，从行观点来看，增长方程的可添加性使得矩阵的行可以任意增加，不会影响矩阵的增长性质。其次，从列观点来看，增长方程的可复制性使得矩阵的列可以任意复制，也不会影响矩阵的增长性质。

因此，增长方程的两个不变性可以概括为：无论从行还是列的角度，矩阵的行和列都可以进行无限的添加和复制，而不会影响其增长性质。此外，本文还将在下文中讨论增长方程的另一个特性，即可约性。

本文分析了增长方程的两个不变性：可添加性和可复制性，即矩阵的行和列可以无限添加和复制，而不会影响其增长性质。

下面是我在行文结束后，用 AI 对全文内容进行的总结，但好像它也没学到啥。

本文分析了增长方程的两个不变性：可添加性和可复制性，这意味着矩阵的行和列可以无限添加和复制，而不会影响其增长的性质和特征。这两个不变性是增长方程的基本属性，它们确保矩阵可以高效地扩展，并不会影响其增长的性质。因此，可添加性和可复制性的存在将为矩阵的增长提供更多的灵活性和可能性，从而使矩阵具有更强的扩展能力。

这说明它不知道我要写什么，也或者是我写得实在是没什么营养，提供的信息量不够丰富，我不知道这是好事还是坏事。

参考资料

[1]

Generating the Optimized Production Matrix II: https://observablehq.com/@listenzcc/generating-the-optimized-production-matrix-ii

[2]

增长方程的两个不变性: #增长方程的两个不变性

[3]

增长方程: #增长方程

[4]

行观点下的斜率不变性: #行观点下的斜率不变性

[5]

列观点的交点不变性: #列观点的交点不变性

[6]

无害声明: #无害声明