用二分法计算汪小菲的房贷利率

根据汪小菲最近发的微博和账单显示，他在台湾买的房子的购入价格为4亿新台币，首付了2.4亿，还款期限为20年，即240个月，每月房贷还款额为106万新台币，那么他的房贷利率是多少呢？

这个问题实际上和计算投资回报率是一样的。从银行的角度来看：

• 在初始时刻，投资了（贷出）1.6亿新台币。
• 接下来的240个月，每个月可以收回106万新台币。

首先假设年利率为 ，月利率为 ，那么

以上公式的单位为1万新台币。

令

我们要找的实际上就是方程 的解。

首先可以观察到：

• 是一个递减函数。

所以 在 上有唯一解。

但是由于这个方程涉及高阶多项式，无法求得显式解，所以我们需要用数值方法。

一种简单有效的解方程的办法是二分法。

• 首先选择两个点 ， 使得 ， 。
• 计算 ：

  • 如果 ，说明解在 上，所以把 赋给 。
  • 如果 ，说明解在 上，所以把 赋给 。
  • 如果 ，那么解为 。
• 重复以上过程直至 区间足够小或者解已经找到。

由于每次区间都要减半，所以我们达到预设容忍误差的速度是很快的。假如容忍误差为 ，初始区间为 ，那么我们最多需要

这么多次循环。

接下来我们用Python来实现二分法。

import numpy as np

# 定义函数 f(r)
def f(r):
    return -16000+(106/(1+r/12.0)**np.arange(1,241,1)).sum()

# 求解 f(r)=0

# 根据常理推断，房贷利率应在0.01到0.1之间
# 经试验f(0.01)>0, f(0.1)<0
# 所以初始化a, b如下
a, b = 0.01, 0.1

# 循环停止的误差界
err_tol = 1e-6

while b-a>err_tol:
    fm = f((a+b)/2)
    if fm>0:
        a = (a+b)/2
    elif fm<0:
        b = (a+b)/2
    elif fm==0:
        break

print((a+b)/2)

最后的计算结果为（精确到小数点后六位）

所以汪小菲的房贷利率为 ，网传台湾的首套利率是 左右，不知道他的为什么这么高，可能因为是豪宅？