代数方程进阶(3)

代数方程进阶(3)

1 阿贝尔不可约性定理

• 如果数域 上的不可约方程 的一个根也是 上的方程 的一个根，则 的所有根都是 的根。同时， ，其中， 也是 上的多项式。

证明：

设 和 的最大公因子为 ，则

其中，所有的系数均属于数域 。 根据最大公因子的性质，有

其中， 均为 上的多项式。

由于 的一个根也是 的根，则至少存在一次公因子 。 因为 是不可约的，则 。因此

因此， 可以被 整除，且对于 的每个零点， 的值均为零。

2 推论

• 推论1：如果数域 上的不可约方程 的一个根也是 上的方程 的一个根，且 的次数低于 ，则 的所有系数均为零。

• 推论2：如果 是数域 上的不可约方程，则数域 上不存在另一个不可约方程 ，使得 与 有公共根。