Caratheodory's construction lv.2

定义 (Borel partition): 为集合的一个 Borel partition, 若为一族可数互不相交 Borel 集, 且 .

定理 2.10.8. 设为可分度量空间上由所有 Borel 子集上的函数通过 Caratheodory's construction 得到的测度, 且满足

对任意为一族可数 Borel 集, 且若为中任意 Borel 子集, 则

更进一步地, 若均为的 Borel partition, 且

则

证明: 由假设知 , 对任意 Borel 集 . 由于任意 Borel 集均可测, 从而

对任意的 Borel partition . 进一步地, 若的 Borel partition 的成员的直径趋向于 , 则

Q.E.D.

推论: , 有 .

对于函数及取值 , 记 .

定理 2.10.10. 设为可分度量空间, 为拓扑空间上的测度, 函数 , 且对任意为的 Borel 子集, 均可测. 若

且为上的由所有 Borel 子集上的函数通过 Caratheodory's construction 得到的测度, 则

对任意 Borel 集 .

证明: 选取的 Borel partition 列: , 使得的任意成员都是中一些成员的并集, 且

令为的特征函数, 注意到

则对任意 , 由定理 2.10.8. 有

Q.E.D.

推论 2.10.11. 若为完备可分空间, 为度量空间, 为 Lipschitz 映射, , 为的 Borel 子集, 则

证明: 注意到

Q.E.D.

推论 2.10.12. 若为度量空间, 则对任意连通子集 , 有 .

证明: 我们不妨设 . 由于完备可分, 我们可以选取 Borel 集使得 , 且 . 固定 , 定义 ,

则由定理 2.10.11. 有

由于 , 而 . Q.E.D.

定理 2.10.13. 设为度量空间, 为连续映射, 设 , 且 , 令 . 则

进一步地, 若为自反 Banach 空间, 则在上绝对连续当且仅当 , 且

若上述定理中不假设连续, 则结论可改为:

其中

以及

定理 2.10.15. 设为整数, 为中 Borel 集,

则 ,

进一步地, 时等号成立, 即

证明: 类似于定理 2.10.10. 的证明, 选取 Borel partitions , 有

则由 Minkowski 不等式,

时上述不等号变为等号. Q.E.D.