圆锥定值

(2022秋·贵州期中) 已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点, 且焦点到渐近线的距离为 2 . (1) 求双曲线 的标准方程； (2) 设 为双曲线 的右顶点, 直线 与双曲线 交于不同于 的 两点, 若以 为直径的圆经过点 且 于, 证明: 存 在定点 , 使得 为定值.

（1）解：椭圆 的焦点在 轴上, 故设双曲线 的标准方程为 , 因为椭圆 的焦点为 , 故双曲线的焦点为 , 因为焦点到渐近线的距离为 2 , 所以 , 从而 , 故双曲线 的标准方程为 ；

(2) 证明：设 , (1) 当直线 的斜率存在时, 设 的方程为 , 联立 , 消去 , 化简得 ,

因为以 为直径的圆经过点 , 所以 , 所以 ,

化简得 , 所以 或 , 且均满足 . 当 时, 直线 的方程为 , 直线 过定点 , 与已知矛盾; 当 时, 直线 的方程为 , 过定点 . (2) 当直线 的斜率不存在时, 不妨设直线 , 联立 , 解得 , 此时直线 过定点 , 因为 , 所以点 在以 为直径的圆上, 为该圆的圆心, 为该圆的半径, 故存在定点 , 使得 为定值 .