刘玉记

V1

2022/05/29阅读:31主题:红绯

凸函数结尾

函数是凸函数的条件+可导函数是凸函数的条件+二阶可导函数是凸函数的条件+第七讲习题7三道题参考答案

目录

  • 定义在区间 上的函数是凸函数的条件
  • 区间 上的可导函数是凸函数的条件
  • 区间 上的二阶可导函数是凸函数的条件
  • 习题7的三道习题参考答案(习题12、15,16)

定义在区间 上的函数是凸函数的条件

在区间 上有定义,则 是凸函数当且仅当下面条件之一满足

  • (1)对于任意 , 成立
  • (2)对于任意 , 成立
  • (3)对于任意 , 成立
  • (4)对于任意 , 成立
  • (5)对于区间 的任意内点 ,存在实数 满足
  • (6)对于任意正数 满足 , 区间 上任意点 ,成立

注记: 函数为严格凸函数的条件是上面不等式中不等号为 .

区间 上可导函数是凸函数的条件

是区间 上可导函数,则 是(严格)凸函数当且仅当下面条件之一成立

  • (1) (严格)单调增加。
  • (2)对于任意 ,成立

区间 上二阶可导函数是凸函数的条件

在区间 上二阶可导,则 是(严格)凸函数当且仅当

第七讲三道习题的参考答案

题目12:不用定理7.3直接证明定理7.4,区间 的可导函数 是凸函数当且仅当对于任意 成立

严格凸当且仅当上面不等式对于 符号。

定理7.3: 是区间 凸函数当且仅当对于人任意 ,存在实数 使得当 成立

定理7.4: 是区间 凸函数(严格凸函数)当且仅当对于任意 ,成立

解: 不使用定理7.3.

  • 必要性: 是区间 上的可导凸函数,对于任意 , 根据凸函数的等价条件,对于任意 , 成立

,则得到

化为

同理取 ,根据

得到

化为

综上得到

  • 充分性: 对于任意 , ,则

所以

根据等价定理得到 上凸函数。【证明完毕】

题目15:设 有定义,如对于任意 ,成立

上的中点凸函数,证明当 (下半)连续时,中点凸函数是凸函数。

证明:

下半连续定义:(下半连续性(lower semi-continuity)是1993年公布的数学名词)。

  • 是凸函数,根据凸函数定义,取 , 得到

是中点凸函数。

  • 反之,设 是中点凸函数,我们在下半;连续条件下证明 是凸函数。

首先,当 (则 , 是有理数)时,根据等价条件

为无理数时,取有理数列 , , genuine上面证明

根据下半连续条件,任意给 ,存在 满足

由于

所以存在 满足

所以

得到

得到

得到

凸函数定义, 时凸函数。【证明完毕】

题目16:设 可导,对于 的任意两个点 ,存在唯一的 使得

证明 是严格凸或者严格凹函数。

证明: 反设 不是单调增加的,则存在点 , 满足

或者

  • 情况1: . 由于存在 使得

所以

根据极限保序性,存在 满足