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2022/09/25阅读:23主题:自定义主题1

求解运动学微分方程:原函数法

将运动学微分方程改写成微分形式,对时间求不定积分,利用初始条件确定积分常数,就可以得到位置或速度与时间的依赖关系。

在《获取物体的运动学量》中,我们首先从物理的层面出发对粒子的运动进行分析,得到了获取位置和速度的数学公式。其实,这个问题也可以先从数学的层面出发得到解决。 让我们重新考察速度和加速度的定义式:

如果你已经有了一定的数学基础,应该马上就意识到如何从数学的层面上解决我们的问题。不过,我还是假定你对数学的了解并不多,所以,接下来要对这个问题做仔细的回应。 在上面的速度或加速度的定义式中,有一个我们想要知道的未知物理量,并且这个物理量是以对时间的导数的形式出现的。另一方面,与这个时间导数同时存在于一个等式中,还有一个已知的物理量,比如说速度或者加速度对时间的依赖关系。我们知道,在一个等式中,如果既含有已知量又含有未知量,这个等式就被称为“方程”,或者更准确地说,是一个“代数方程”。我们在中学中熟悉的“一元一次方程”或者“一元二次方程”等就是代数方程。现在,在关于速度与加速度的定义式中,甚至还含有未知变量对自变量的导数,这种等式被称为“微分方程”。通过对这两个微分方程进行求解,就可以得到我们想要知道的未知的物理量的表达式。我们不打算详细地讨论微分方程的求解理论,这些理论你很快就会在数学课程中学到。在这里仅对上面提出的问题给出一个详细的解决方案。 假定已经知道了速度对时间的依赖关系,先把速度的定义式改写成如下形式:

对上面这个经过改写的等式的两边同时做一次不定积分,将两边做不定积分时得到的任意常数合并,就可以得到下面的等式:

等式最右边的那个式子被称为速度的原函数,一个函数的原函数可以带有一个任意的积分常数。显然,由于积分常数是任意的,由上述等式给出的位置对时间的依赖关系并不完全确定。为了能够明确地得到位置与时间的函数关系,需要把这个任意的积分常数确定下来。通常的做法是,在一个特定的时刻 (称之为初始时刻)测量粒子所处的位置 (称之为初始位置),把这两个数值代入上面的等式中:

由此就得到了积分常数的表达式,并最终确定了位置与时间的函数关系:

结果发现,只要求出了速度的原函数,再测得粒子的初始位置,粒子在任意时刻的位置就确定了。 在许多情况下,我们可能会通过某种途径获得加速度对时间的依赖关系。在这种情况下,可以利用加速度与速度之间的关系,先把速度对时间的依赖关系求出来。为了达到这个目的,把加速度是速度对时间求一阶导数这个定义式改写成:

再仿照上面的求解过程对这个经过改写的等式的两边做不定积分,就可以得到

等式最右边的式子是加速度的原函数。如果在初始时刻 测得粒子的初始速度为 ,粒子的速度对时间的依赖关系就确定下来了:

我们再一次看到了类似的情况:只要求出了加速度的原函数,再测得粒子的初始速度,粒子在任意时刻的速度就确定了。有了速度对时间的依赖关系,就可以继续求解位置随时间的变化规律了。

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物理

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