羽毛先生

V1

2022/12/05阅读:23主题:全栈蓝

现代计算机图形学-L2 ——线性代数

一、图形学依赖学科

二、 线性代数

1 向量 vectors

  1. 如图向量AB表示A指向B的方向,B的坐标减去A的坐标得到向量AB
  2. 向量表示方向和长度
  3. 向量没有绝对的开始位置,无论如何移动,仍然是同一个向量。

单位向量

  • 向量的长度
  • 单位向量
  • 单位向量是一个和原始向量同方向但长度为1的向量。
  • 图形学中我们谈起向量更多的认为其是单位向量,我们只关心方向而不关心长度。

1.2向量的基本操作

加法

  • 几何表示:平行四边形与三角形法则
  • 代数表示:坐标相加

点乘 Dot product

点乘的结果是一个数

  • 定义:两个向量的点乘等于两个向量长度乘积,再乘以两个向量的夹角余弦

    • 直角坐标系下,运算更加简单,坐标分别乘积后相加
  • 性质:满足交换律、结合律、分配律

  • 作用:

    1. 常常用来求两个向量的夹角,尤其当两个向量为单位向量时,分母自然为1,只需要求两向量的点乘即可。

    2. 求一个向量到另一个向量的投影

      算出投影后,可以将向量沿两个方向分解(三角形或平行四边形法则)

  • 点乘在图形学中的应用

  1. 计算两个向量有多接近,计算出两个向量点乘的结果根据结果判断距离近与远。
    • a与b点乘结果接近1。
    • b继续旋转到虚线上,点乘结果0
    • b继续旋转与b相反方向,点乘结果-1
    • 图形学应用:当光打到物体表面时,镜面反射定律:观测角度与镜面反射角度不同,金属高光计算
  2. 两个向量前与后的关系
    • 当a和b同在虚线上半部分时,点乘的结果是正数,说明方向基本同向。
    • 当a和c分别在虚线两部分时,点乘的结果是负数,说明方向基本相反。
    • 当点乘结果为0时,则终点代表在虚线上。

叉乘

1、定义:输入两个向量a、b,输出向量c,要求c与a、b垂直,c的方向遵循右手螺旋定则(a旋转到b),c的大小如图。向量叉积不满足交换律。 作用:建立三维空间的直角坐标系

2、 性质 不满足交换律,满足分配律和结合律 向量a叉乘自己,得到的是长度为0的向量,结果为一个向量

3、代数表示 后续课程还将介绍矩阵表示方式:

4、作用

  • 判断左右

    • bxa,得到的结果z为负数,则b在a的左边
    • axb,得到的结果z为整数,则a在b的右边
  • 判断内外

    • 判断P在三角形的内部还是外部?

    • 1、AB X AP,得到的结果向屏幕外,z>0——>P在B的左侧

    • 2、BC X BP,得到的结果向屏幕外,z>0——>P在C的左侧

    • 3、CA X CP,,得到的结果向屏幕外,z>0——>P在A的左侧

    • 都在左侧,因此P点在三角形内部

    • 总结:对于任何绕向的三角形,P都在左边或者都在右边,则P在三角形内部 图形学应用:光栅化基础,判断三角形覆盖了哪些像素——>判断像素是否在三角形内部,

3.正交坐标系

矩阵

定义:

矩阵就是一堆数,按照如图结构排列,如图3x2(三行两列)

矩阵相乘

MXN 与NXP矩阵才能相乘(N相同,即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数),从而得到一个 M X P 的矩阵

结果矩阵中的每个元素如何求?

  • 总结:想要算第m行第n列,就去第一个矩阵找m行,第二个矩阵找n列,然后进行点乘。
  • 例子:以第1行第4列的13为例,从第一个矩阵中找第1行(1,3),第二个矩阵中找第4列(4,3),进行点乘,1 * 4 + 3 * 3 = 13

矩阵乘积的性质

  • 不满足交换律
  • 满足结合律,可应用于多矩阵变换精简计算与存储。
  • 满足分配律

矩阵与向量相乘

变换(Transform)的关键

  • 通常向量作为列向量(M X 1的矩阵)
  • 矩阵放在左边(*xM),列向量(M X 1)放在右边进行相乘。
  • example

矩阵转置

定义:行列互换 性质:

单位矩阵

  • 单位矩阵:对角阵,基本不做任何操作。

  • 逆矩阵:如果两个矩阵相乘的结果为单位矩阵,那么这两个矩阵互逆。

  • 性质(与矩阵的转置类似)

向量乘积的矩阵形式

  • 向量点乘
  • 向量叉乘

小结:

本节课程主要是对线性代数进行重温,介绍了

  1. 向量定义,向量的加法、叉乘、点乘、叉乘与点乘在图形学中的应用。点乘可应用于计算夹角与投影,叉乘可应用于判断点是否在三角形内部、向量的左右关系以及构建正交坐标系,
  2. 矩阵相乘、矩阵与向量相乘,矩阵的转置、矩阵的逆、单位矩阵,这是应用学习变换(Transform)的前奏,后续将引入齐次坐标。

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