阅读以下内容需要掌握的前置知识有：

• 因式分解
• 找约数（因数）

在《整数解问题01》中，我们关注的是分式情况下的整数解问题，在《整数解问题02》中我们来关注方程中的整数解问题，把研究范围缩得再小一点，如果方程是这样的形式： ，其中 ， 为含有未知数的代数式（次数为一次）， 为常数，它的整数解问题该如何解决。

这一题型常见于应用题的最后几步，如果刷题较多，会发现它作为一种好用的积木块在涉及有理数的大多数代数题中都可以运用。

典例

• 求方程 的所有整数解。^[1]

思路与框架

1. 型

方程 的整数解问题很容易回答，只需要找到 的所有约数即可。

答案如下：

很可惜，对于很大一部分七年级学生来说，有规律地列举 的约数已经是有难度的事情了，但只要在列举之前想好特定的规律——从小到大或者从大到小——就不容易遗漏了。

对 进行变化，探究 或者 的整数解问题应该是很容易的。但如果我们把这两个变化后的方程打开整理， 与 已经很难让人将它们和 这样的形式联系起来了。

2. 型

观察一下打开后的两个式子（包括典例），它们包括：

1. 二次项 ；
2. 和 的一次项；
3. 常数项。

我们可以将它概括为 （其中 为整数）。

在此处我们对它进行类似因式分解的操作，目的是使其变成 的形式，其中 为常数。操作很简单，只需要将等式左边变形为 ，再将多出来的常数项 减掉即可，具体步骤如下。

如果对于抽象描述的理解能力较差，可以直接下划到例题解答部分。

这样一来，我们已经成功变形方程，问题也已经可以解决了。

3. 更一般情况的补充说明

在具体的例子中，我们的二次项系数并不一定为 ，一次项系数和常数项也不一定都是整数。但只要在有理数的范畴内，通过同乘分母的最小公倍数，就可以将方程的所有系数都转变成整数了。

较为麻烦的是二次项系数不为 这一条，在类分式分解的过程中需要进行一定的微调才能实现变形的。下面再给出几道例题来说明这些一般情况。

将方程变形为 或者 都是可以的，最后同乘 即可成功变形。

不难发现这个方程是将上面方程同时除以 得到的，增加第一步的处理：同乘 即可变回熟悉的形式。

对于这一些更一般的情况，我们其实只多做了一件事：通过同乘将系数中的有理数变成整数。

例题解答

• 求方程 的所有整数解。

解：

那么，

相应地，

.

Bonus

这道典例还可以利用《整数解问题01》中的方法进行解答。

将 当作未知数，用 表示 可得 （将原方程变为 易得），接下来就是涉及代数式的整数解问题了。

可能的取值有 ，对应的 的取值为 3，1，4，0，7，-3，12，-8，再依次代入求 的值，最后的结果和上面的例题解答是一样的。

总结

这一类整数解问题的核心是很容易理解的，难点在于如何成功变形，变形中抓住只剩下常数这一条问题就迎刃而解了。

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参考资料

[1]

试题来源: 摘自七年级因式分解单元卷（题目有所化简与变化）