Bergman Spaces (Duren, Schuster) 笔记 01

Bergman Spaces (Duren, Schuster) 01

2. Linear Space Properties

2.3. Bergman projection

记 为 复平面 上的单位圆盘. 回忆 (简记为 , 以下类似) 上的 Bergman 投影:

为 到 的正交投影, 其中 为 上的归一化 Lebesgue 测度 ( ).

定理 5. 对任意 , Bergman 投影 是 到 上的有界算子.

证明需要利用下面这个引理.

引理 2. 设实数 满足 . 则存在常数 , 只与 有关, 使得

直接对积分进行估计即可得到证明.

Exercise. 上述积分在 时精确的渐进性质是怎样的? (Forelli-Rudin)

定理 5 的证明: 只需证明 为 有界映射. 设 , 由 Holder 不等式,

其中

以及

由引理 2, 有

从而

其中常数 只与 有关. Q.E.D.

Exercise. 类似结果是否在 和 上成立?

推论. 若 , 则

定义了一个 到 的有界线性算子.

注: 定理 5 的结论对于 不成立. 下面的定理 6 也是如此.

定理 6. 对于 , 的对偶空间可视为等于 , 其中 . 任意泛函 有一个唯一的表示:

对某个 . 且

实际上 .

证明: 利用 Bergman 投影, 结合定理 5.

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2.5. The pseudohyperbolic metric

对任意 , 定义 与 之间的拟双曲距离 (pseudohyperbolic distance) 为:

有:

Berezin 变换:

拟双曲圆盘 (pseudohyperbolic disk):

其中 , . 实际上

双曲面积 (hyperbolic area): 可测集, 则其双曲面积定义为:

引理 3. 设 为 中的一个拟双曲圆盘, 则对任意 , 存在只依赖于 的常数 使得

Exercise. 计算 , .

引理 4. 在任意拟双曲圆盘 中, 核函数 满足估计:

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2.6. The Block space

上的全纯函数被称为在 Bloch 空间 中, 如果它的 Bloch 范数:

有限. 实际上这不是个范数, 一般用 表示 上的范数.

Bloch 空间在 Mobius 变换下不变: .

命题 1. 令 , . 则

命题 2. Bloch 空间 是一个 Banach 空间.

, . 特别地, 有 , .

定义 (little Bloch 空间).

命题 4. 令 , 则 当且仅当 , 当 .

定理 7. Bergman 投影 具有性质: , 以及 . 且在每种情况里, 均有界.

第一个结论的证明: 利用 2.3 的引理 2. 第二个结论的证明: 利用 Stone-Weierstrass 定理转化为对单项式证明即可.

定理 8. 的对偶空间可视为等同于 . 任意 有唯一表示

其中 . 进一步地, 范数 等价于范数 .

引理 7. 若 在 上全纯, , 则

其中

定理 8 的证明: 若 , 显然有 . 由闭图像定理, 存在常数 使得 , 对任意 . (问题 : 这里不用闭图像定理的话, 能不能直接得到?) 由 Lebesgue 控制收敛定理及引理 7, 对任意 , , 由 定义的积分极限收敛. 进一步地, 有

从而

反过来, 设 是 上的有界线性泛函. 由 Hahn-Banach 延拓定理和 Riesz 表示定理, 存在函数 , 使得 , 且

利用 Bergman 投影, 由定理 7, , 且 . 由上知 . 下面只需证明 , . 实际上只需证明 为多项式的情形, 由稠密性. 对此利用 Bergman 核的再生性质即可. 余下都是些简单的验证. Q.E.D.

对任意 , 定义

引理 8. 若 , 则 , 且 .

引理 9. 算子 为 到 的嵌入.

定理 9. 的对偶空间可视为等同于 . 任意泛函 有唯一表示

其中 . 进一步地, 范数 等价于范数 .

证明. 中元素作为 上的有界线性泛函直接由定理 8 得到. 反过来, 对任意给定 , 由引理 9, 为 闭子空间, 因此 为 上的有界线性泛函. 由 Hahn-Banach 延拓定理及 Riesz 表示定理, 存在 上有限测度 , 使得