张春成

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2022/12/27阅读:26主题:默认主题

抛物线是圆角的三角形 2

抛物线是圆角的三角形 2

有点羊,所以本文有点短。

本文试图证明抛物线的弓面积与内接三角形面积之间的关系。


弓弦长与肋长的关系

任意抛物线满足如下函数关系,为了对它进行简化,我们假定它的最低点为坐标原点,且开度为 1

我们用任意一条弦将它进行切割,这条弦与抛物线构成一张弓的形状

给定的情况下,全部 的直线构成一个集合,这个集合中包含三类元素

  • 第一类,与抛物线有 2 个交点
  • 第二类,与抛物线有 1 个交点
  • 第三类,与抛物线没有交点,由于没有交点存在,因此这类直线的集合为空集

易知,第二类直线有且只有一条,且它是抛物线的切线,这个点可以表示为

而第一类直线构成的集合可以表示为

由于前两个方程的存在,这些交点总有对应关系

这时我们需要注意两个现象,首先,弦中点的横坐标与切点的横坐标始终相同;

其次,不再纠结这个方程的具体解,而是考虑函数,它代表随着 的增加,弦长越来越大。

其中, 代表第一类集合中的直线与第二类直线之间的距离在垂直轴上的映射值。于是弦长与该映射值之间的距离是

这代表如果将抛物线看作一个圆角的三角形的话,那么它的弦长与高的平方呈线性关系。

弓面积的迭代

由于弓弦中点的良好性质,以下三点共线

  • 咖啡色线的中点

  • 黄色弦的四分位点

  • 粉色线与抛物线交点

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本图可见我的前端笔记本,用于绘制各种初等函数 mathmatic-notebook-ii[1]

其中,粉色线与抛物线交点是紫色弦的切点。若认为黄色弦的高为 1,则粉色弦的高为 1/4。因此,根据平行关系和比例关系,黄色弦与粉色弦在竖直方向上的距离为 3/4,黄色弦与咖啡色弦在竖直方向上的距离为 1/2,咖啡色弦与粉色弦在竖直方向上的距离为 1/4。

因此,考虑黄色弦与紫色弦与其切点所构成的三角形,后者的面积是前者的 1/8 。另外,由于推导过程并没有涉及任何弦的特殊性,因此可以认为弓形面积可以用无穷级数表示

其中, 是黄色弦的面积,我们假定其为 1。由上述推导可知,它的另外两条边衍生出的新三角形面积为 1/4。并且由于推导过程并没有涉及任何弦的特殊性,因此这个过程可以迭代下去

最终得到抛物线的弓面积等于其内接三角形面积的 4/3 倍。

参考资料

[1]

mathmatic-notebook-ii: https://observablehq.com/@listenzcc/mathmatic-notebook-ii

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后端

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