张春成

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2022/04/07阅读:15主题:默认主题

椭圆周长

椭圆周长

椭圆与圆有本质的区别, 它的周长没有初等表达式的闭式解, 这是一个很神奇的现象。


基本运算

圆和椭圆的方程极其简单,

我们假定圆的半径为1

我们假定椭圆的短轴长为1,长轴长为a

转换为参数方程

圆:

椭圆:

圆的周长算起来就很简单

而椭圆的周长表达式看上去同样简单

但它没有初等表达式的闭式解。 当然,这不代表无解, 比如可以从这个 思路[1] 进行求解,得到

ellipse-3
ellipse-3

其实这个解无关紧要, 它背后天然地带来了一个问题,

为什么二次曲线的问题会如此复杂?

它明明只是把正圆沿着一个轴“拉伸”了一下而已呀。 这个问题我目前还没有太想明白, 不过想来挺有意思的。

简单实证

我们在离散的情况下绘制圆和椭圆

ellipse-1
ellipse-1

上图分别绘制了圆和椭圆在第一象限的函数图像, 其中 。 其中,num值代表使用了几个点来描述整个圆周。

为了求取椭圆的周长, 一个简单粗暴的观点是, 可以将椭圆当作是沿x轴拉伸了 倍的正圆, 因此,椭圆的周长应该等比例拉伸

而实验结果显然不支持这个说法

ellipse-2
ellipse-2

我们看norm这一列, 它代表在上图中离散的小段之和。

对于圆来说, 圆周的长度约为 , 而相同角度范围的椭圆周长约为 , 大于上面错误观点的

并且这个误差并非是由于离散采样带来的误差, 因为随着采样数量的增加(从550), 这个数值虽然是逐渐增加的, 但增加得越来越慢, 无法达到此值。

参考资料

[1]

思路: https://www.zhihu.com/question/484228941

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后端

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