代数方程进阶(5)

代数方程进阶(5)

1 一个定理

• 定理4：对于数域 上次数为素数 的不可约方程，若其在数域 上可约（其中， 为数域 上 次不可约方程 的一个根），则 是 的因子。

2 证明

设 在数域 上可以分解成两个多项式 的乘积（其中 的次数分别为 ），即

设 为任意一个有理数，在数域M上的多项式

当 时， 。根据阿贝尔不可约定理^[1]，对于不可约方程 的所有根 ， 的值均为零。

由于方程 对任意有理数都成立，再考虑到多项式的连续性可知，该方程对所有的复数也能成立。因此， 。 类似地，对于 的所有根，上述方程也能成立。

将上面的 个方程相乘，得到

其中， 分别为 个多项式 以及 的乘积。由于 是 的根的对称多项式，根据对称多项式基本定理可知， 的系数都可以用 的系数表示，因此 都是数域M上的多项式。

于是，至少对于不可约多项式 的一个根， 必然等于零， 也是如此。因此， 都可以被 整除。又由于 不可约，且除了 没有其他的因子，所以

其中， 。

对比等式两边的次数，可得

又因为 ，所以 为 的因子。

参考资料

[1]

代数方程进阶(3): https://mp.weixin.qq.com/s/bJQ9YMjCLmmYp4svY1RW7g