代数方程进阶(5)

设在数域上可以分解成两个多项式的乘积（其中的次数分别为），即

设为任意一个有理数，在数域M上的多项式

当时，。根据阿贝尔不可约定理^[1]，对于不可约方程的所有根，的值均为零。

由于方程对任意有理数都成立，再考虑到多项式的连续性可知，该方程对所有的复数也能成立。因此，。类似地，对于的所有根，上述方程也能成立。

将上面的个方程相乘，得到

其中，分别为个多项式以及的乘积。由于是的根的对称多项式，根据对称多项式基本定理可知，的系数都可以用的系数表示，因此都是数域M上的多项式。

于是，至少对于不可约多项式的一个根，必然等于零，也是如此。因此，都可以被整除。又由于不可约，且除了没有其他的因子，所以

其中，。

对比等式两边的次数，可得

又因为，所以为的因子。

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