蒹葭苍苍
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2022/01/09阅读:67主题:姹紫
代数方程进阶(5)
代数方程进阶(5)
1 一个定理
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定理4:对于数域 上次数为素数 的不可约方程,若其在数域 上可约(其中, 为数域 上 次不可约方程 的一个根),则 是 的因子。
2 证明
设 在数域 上可以分解成两个多项式 的乘积(其中 的次数分别为 ),即
设 为任意一个有理数,在数域M上的多项式
当 时, 。根据阿贝尔不可约定理[1],对于不可约方程 的所有根 , 的值均为零。
由于方程 对任意有理数都成立,再考虑到多项式的连续性可知,该方程对所有的复数也能成立。因此, 。 类似地,对于 的所有根,上述方程也能成立。
将上面的 个方程相乘,得到
其中, 分别为 个多项式 以及 的乘积。由于 是 的根的对称多项式,根据对称多项式基本定理可知, 的系数都可以用 的系数表示,因此 都是数域M上的多项式。
于是,至少对于不可约多项式 的一个根, 必然等于零, 也是如此。因此, 都可以被 整除。又由于 不可约,且除了 没有其他的因子,所以
其中, 。
对比等式两边的次数,可得
又因为 ,所以 为 的因子。
参考资料
代数方程进阶(3): https://mp.weixin.qq.com/s/bJQ9YMjCLmmYp4svY1RW7g
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蒹葭苍苍
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