Nevanlinna theory 02

Nevanlinna 第二主定理的准备工作.

定理 1.2.2 (Gol'dberg-Grinshtein) 设为上的亚纯函数 ( ). 令 , 则对 , 有

证明太长, 不想抄了... 核心思路是对 Poisson-Jensen 公式两边进行求导之后再做估计.

定理 1.2.3 (Gol'dberg-Grinshtein 估计) 设为上的亚纯函数 ( ). 令 , 则对 , 有

其中 , 为的首个非零系数.

证明: 令 . 则 , 从而

另外由定义,

故

类似地有,

此时由 Nevanlinna 第一主定理,

综合上述一系列不等式和定理 1.2.2 得欲证结论. Q.E.D.

引理 1.2.4 (Borel 增长引理) 令为 (其中 ) 上的正的非减连续函数, 且满足 , . 那么对任意 , 存在闭集 (称为exceptional set ‘例外集’) 使得 , 且若记

则

且

证明: 令

则对任意 , (1) 式成立. 我们说明 (2) 式成立:

从而

不妨假设非空, 否则结论显然. 我们说明是一个 Lebesgue 测度有限集.

记 . 归纳选取: 假设已经选取了 , , 如果不存在使得 , 则我们结束这个选取过程. 否则令 . 如果存在使得 , 则令 . 否则停止选取过程.

对任意 , 显然 , 且因为 , 有

由于非减, 由上式可得

从而

由于 , 有 . 从而

因此这列我们要么只能找到有限个要么 , 当 . 若为前者则结论成立, 因为含于所有的并集中. 若为后者, 则

而

结论成立. Q.E.D.

定理 1.2.5 (Lemma on the Logarithmic Derivative) 令为上的非常值亚纯函数. 假设对某个 , 有 . 则对任意 , 不等式

对任意 , 在某个有限 Lebesgue 测度集之外成立, 其中为与无关的常数.

证明: 由的凹性及 Jensen 不等式,

取 . 对用引理 1.2.4, 可得对 , 且 , 有

及

最后, 将这些和引理 1.2.3 结合起来, 并利用不等式

即得欲证结论. Q.E.D.