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2022/10/24阅读:31主题:蔷薇紫

算法 | 详解斐波那契数列问题

本篇是学习了《趣学算法(第2版)》 第一章之后总结的。 在这里插入图片描述

上一篇讲到了等比数列求和问题,求 ,该函数属于爆炸增量函数,如果采用常规运算,则要考虑算法的时间复杂度。

算法知识点

  • 斐波那契数

  • 动态规划(拆分子问题;记住过往,减少重复计算)

算法题目

假设第1个月有1对初生的兔子,第2个月进入成熟期,第3个月开始生育兔子,而1对成熟的兔子每月会生 1对兔子,兔子永不死去..…那么,由1对初生的兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢?

做题思路

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

这个数列有如下十分明显的特点:从第3个月开始, ,而 。因此,前面相邻两项之和便构成后一项,换言之:

斐波那契数如下:

1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8, 13 ,21 ,34 ......

递归表达式

根据递归表达式,初步的算法代码如下:

const fbn = (n) => {
  if (n == 1 || n == 2) {
  return 1
  } else {
  return fbn(n-2) + fbn(n-1)
 }
}

让我们看一下上面算法的时间复杂度,也就是计算的总次数

时间复杂度

时间复杂度算的是最坏情况下的时间复杂度

n=1时,T(n)=1
n=2时,T(n)=1
n=3时,T(n)=3//调用Fib1(2)和Fib1(1)并执行一次加法运算(Fib1(2)+Fib1(1))

当n>2时需要分别调用fbn(n-1)fbn(n-2),并执行一次加法运算,换言之:

所以,

问题来了,怎么判断T(n)属于算法时间复杂度的哪种类型呢?

方法一:

画出递归树,每个节点表示计算一次

一棵满二叉树节点总数就和树的高度呈指数关系

递归树 F(n)里面存在满二叉树,所以时间复杂度是指数阶的

方法二:

使用公式进行递推

因为时间复杂度算的是最坏情况下的时间复杂度,所以计算第一个括号内的即可

即: ,时间复杂度是指数阶

算法改进

降低时间复杂度

不难发现:上面基于递归表达式的算法,存在大量的重复计算,增大了算法的时间复杂度,所以我们可以做出如下改进,以减少时间复杂度

// 利用数组记录过往的值,直接使用,避免重复计算
const fbn2 = (n) => {
  let arr = new Array(n + 1); // 定义 n + 1 长度的数组
  arr[1] = 1;
  arr[2] = 1;
  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2]
  }
  return arr[n]
}

很显然上面算法的时间复杂度是 ,时间复杂度从指数阶降到了多项式阶。

由于上面算法使用数组记录了所有项的值,所以,算法的空间复杂度变成了 ,我们可以继续改进算法,来降低算法的空间复杂度

降低空间复杂度

采用临时变量,来迭代记录上一步计算出来的值,代码如下:

const fbn3 = (n) => {
  if (n === 1 || n === 2) {
    return 1;
  }
  let pre1 = 1 // pre1,pre2记录前面两项
  let pre2 = 1
  let tmp = ''

  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    tmp = pre1 + pre2 // 2
    pre1 = pre2 // 1
    pre2 = tmp // 2
  }
  return pre2
}

使用了三个辅助变量,时间复杂度还是 ,空间复杂度降为

测试算法计算时间

// 斐波那契数列
// 1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8, 13 ,21 ,34 ......

const fbn = (n) => {
  if (n == 1 || n == 2) {
  return 1
  } else {
  return fbn(n-2) + fbn(n-1)
 }
}
console.time('fbn')
console.log('fbn(40)=', fbn(40))
console.timeEnd('fbn')

// 利用数组记录过往的值,直接使用,避免重复计算
const fbn2 = (n) => {
  let arr = new Array(n + 1); // 定义 n + 1 长度的数组
  arr[1] = 1;
  arr[2] = 1;
  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2]
  }
  return arr[n]
}

console.time('fbn2')
console.log('fbn2(40)=', fbn2(40))
console.timeEnd('fbn2')

const fbn3 = (n) => {
  if (n === 1 || n === 2) {
    return 1;
  }
  let pre1 = 1 // pre1,pre2记录前面两项
  let pre2 = 1
  let tmp = ''

  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    tmp = pre1 + pre2 // 2
    pre1 = pre2 // 1
    pre2 = tmp // 2
  }
  return pre2
}

console.time('fbn3')
console.log('fbn3(40)=', fbn3(40))
console.timeEnd('fbn3')

测试结果如下:

fbn(40)= 102334155
fbn667.76ms
fbn2(40)= 102334155
fbn20.105ms
fbn3(40)= 102334155
fbn30.072ms

小结

能不能继续降阶,使算法的时间复杂度更低呢? 实质上,斐波那契数列的时间复杂度还可以降到对数阶 ,好厉害!!!后面继续探索吧

算法作为一门学问,有两条几乎平行的线索:

  1. 数据结构(数据对象):数、矩阵、集合、串、排列、图、表达式、分布等。

  2. 算法策略:贪心策略、分治策略、动态规划策略、线性规划策略、搜索策略等。

这两条线索是相互独立的:

  • 对于同一个数据对象上不同的问题(如单源最短路径和多源最短路径),就会用到不同的算法策略(如贪心策略和动态规划策略);

  • 对于完全不同的数据对象上的问题(如排序和整数乘法),也许就会用到相同的算法策略(如分治策略)。


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