万物皆可裂项：差比数列求和另解，计算量减少8成

最近在教学生数列求和中的错位相减法，其原理通过类比等比数列求和其实还是比较好理解的，但是作业情况很不理想，要么是不按照要求错位对齐导致相减时符号出错，要么在计算上会出现各种问题，计算略显复杂，总是算不对，而恰好后面又要讲裂项相消，于是在考虑是否也能用裂项的方式来解决差比数列求和，避免错位相减复杂（起码我的学生是这么认为的）的过程和计算。

求数列 的前 项和.

错位相减法的过程，先展示如下：

长公式可以按住公式往左滑查看

两式相减，得：

化简，得：

很复杂，对不对？留着有用，后面用来验证.

将 变成同一数列中相邻两项的差

采用待定系数法，设 ，其中 . 则有：

化简，等式恒成立，对比系数，得：

解得：

所以

代入 ， 得

显然跟上面一模一样（不一样才有鬼了）.

咋看上去，感觉也没简单多少，但是在实际操作过程中，计算量简单了至少8成.我们来看实例.

先来个最直接的练练手.

例1 求数列 的前 项和.

设 ，其中 .则

对比系数，得：

解得： 则 .

所以

是不是只是做了一下整式计算和解二元一次方程组就好了？我们再来一道高考题.

2022 天津卷 18

设 是等差数列， 是等比数列，且 ．

（1）求 与 的通项公式；

（2）设 的前 项和为 ，求证： ；

（3）求 .

解析：第一问易得 ， .第二问做差即可，与本文无关，不作详解，我们看第三问.

求 项的和，主要有两种处理方式，一是将每两项进行组合，形成一个新数列；一是按照项数的奇偶进行分组求和.此数列的通项中有 ，我们先选择第一种处理办法.

令 ，令 ，代入 ， ，得

令 ，其中 ，则

对比系数，得

解得： 即 .

因此

即

也就说，差比数列求和可以使用裂项相消的方法，那么你不打算再去找两题试试吗？

到这里就出现了一个新问题，这个方法我到底跟不跟学生讲呢？

还是算了吧，毕竟他们的计算就像一坨@，先打好基本功再说.