无趣的蒋数学

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2023/01/03阅读:30主题:橙心

万物皆可裂项:差比数列求和另解,计算量减少8成

最近在教学生数列求和中的错位相减法,其原理通过类比等比数列求和其实还是比较好理解的,但是作业情况很不理想,要么是不按照要求错位对齐导致相减时符号出错,要么在计算上会出现各种问题,计算略显复杂,总是算不对,而恰好后面又要讲裂项相消,于是在考虑是否也能用裂项的方式来解决差比数列求和,避免错位相减复杂(起码我的学生是这么认为的)的过程和计算。

求数列 的前 项和.

错位相减法的过程,先展示如下:

长公式可以按住公式往左滑查看

两式相减,得:

化简,得:

很复杂,对不对?留着有用,后面用来验证.

变成同一数列中相邻两项的差

采用待定系数法,设 ,其中 . 则有:

化简,等式恒成立,对比系数,得:

解得:

所以

代入

显然跟上面一模一样(不一样才有鬼了).

咋看上去,感觉也没简单多少,但是在实际操作过程中,计算量简单了至少8成.我们来看实例.

先来个最直接的练练手.

例1 求数列 的前 项和.

,其中 .则

对比系数,得:

解得: .

所以

是不是只是做了一下整式计算和解二元一次方程组就好了?我们再来一道高考题.

2022 天津卷 18

是等差数列, 是等比数列,且

(1)求 的通项公式;

(2)设 的前 项和为 ,求证:

(3)求 .

解析:第一问易得 .第二问做差即可,与本文无关,不作详解,我们看第三问.

项的和,主要有两种处理方式,一是将每两项进行组合,形成一个新数列;一是按照项数的奇偶进行分组求和.此数列的通项中有 ,我们先选择第一种处理办法.

,令 ,代入 ,得

,其中 ,则

对比系数,得

解得: .

因此

也就说,差比数列求和可以使用裂项相消的方法,那么你不打算再去找两题试试吗?

到这里就出现了一个新问题,这个方法我到底跟不跟学生讲呢?

还是算了吧,毕竟他们的计算就像一坨@,先打好基本功再说.

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数学

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数学基础

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