布朗运动的极值分布

反射布朗运动有两种构造方式： 和 ，其中 。考察它们的分布，我们确实会发现他们具有相同的分布函数，这里给一个直观的解释。

本质上这和布朗运动的独立增量、对称增量、极速震荡、无穷平均首穿时和强马尔可夫性是紧密相关的。

我们可以先看 ，当 的时候，短时间内 是不会被更新的，所以这个时候 相当于一个常数，这个过程的表现就跟一个布朗运动一样（因为增量是对称的，所以 也是一个布朗运动）。而当 的时候，几乎瞬时 会被推高，而 在同时以概率 会变得严格小于 （这是因为 平均而言需要无穷长的的时间触及到一个点）。所以这就表现为 在 发生了反射。

再看 ，在 触及 之前，它就是一个布朗运动。在触及 的时候，因为它不会在 停留，所以会立即变正或者变负，无论怎么样，它的路径性质就是在 发生了反射，在之后的演化过程也是满足一个布朗运动（如果 是负的，那么 也是一个布朗运动）。

所以 和 在 之上具有相同的演化行为，在 这个点具有相同的反射行为，他们具有相同的分布就不足为奇了，甚至他们本质上就是同一种过程，其路径性质都是完全一致的。