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2022/12/06阅读:19主题:默认主题

布朗运动的极值分布

反射布朗运动有两种构造方式: ,其中 。考察它们的分布,我们确实会发现他们具有相同的分布函数,这里给一个直观的解释。

本质上这和布朗运动的独立增量、对称增量、极速震荡、无穷平均首穿时和强马尔可夫性是紧密相关的。

我们可以先看 ,当 的时候,短时间内 是不会被更新的,所以这个时候 相当于一个常数,这个过程的表现就跟一个布朗运动一样(因为增量是对称的,所以 也是一个布朗运动)。而当 的时候,几乎瞬时 会被推高,而 在同时以概率 会变得严格小于 (这是因为 平均而言需要无穷长的的时间触及到一个点)。所以这就表现为 发生了反射。

再看 ,在 触及 之前,它就是一个布朗运动。在触及 的时候,因为它不会在 停留,所以会立即变正或者变负,无论怎么样,它的路径性质就是在 发生了反射,在之后的演化过程也是满足一个布朗运动(如果 是负的,那么 也是一个布朗运动)。

所以 之上具有相同的演化行为,在 这个点具有相同的反射行为,他们具有相同的分布就不足为奇了,甚至他们本质上就是同一种过程,其路径性质都是完全一致的。

分类:

数学

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数学

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