herbie

V1

2022/06/24阅读:23主题:橙心

弱大数定理的意义与证明

一山一水一座城,一人一笔一世界。您好,我是Herbie,欢迎您关注我的公众号!

弱大数定理的意义与证明

物理意义

大数定理是由概率的统计定义“频率收敛于概率”引申而来,它“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。为了描述这一点,我们把频率通过一些随机变量的和表示出来。设做了 次独立实验,每次观察某事件 是否发生 ,则在这 次实验中事件 一共出现了 次,而频率为:

,则“频率趋于概率”表示在某种意义上,当 很大时 接近 。但 就是 的期望值,故也可以写成: 很大时 接近与 的期望值。 按上述表述,问题就可以不必局限于 只取0, 1两个值的情况,事实也是如此,这就是较一般情况下得大数定理。“大数”的意思,就是指涉及大量数目的观察值 ,它表明大数定理中指出的现象,只有在大量次数的实验和观察之下才能成立。例如一所大学可能包含上万名学生,如果我们随意观察一个学生的身高 ,则 与全校学生的平均身高 可能相去甚远。如果我们观察10个学生的身高取平均,则它有更大的机会与 更接近些。如观察100个,则其平均又能更与 接近些。再比如抛掷一颗均匀的6面骰子,1,2,3,4,5,6应等概率出现,所以每次扔出骰子后,出现的期望值是 ,基于大数定理,如果多次抛掷骰子,随着抛掷的次数增多,平均值(样本平均值)应该接近3.5。

下面给出投掷单个骰子的过程来展示大数定理。 在这里插入图片描述

代码如下:

clear all;
clf;
clc;
% Specify how many trials you want to run:
num_trials = 1000;

% Now grab all the dice rolls:
trials = randi(6, [1 num_trials]);

% Plot the results:
figure(1);

% Cumulative sum of the trial results divided by the index gives the average:
plot(cumsum(trials)./(1:num_trials), 'r-');

% Let's put a reference line at 3.5 just for fun (make the color a darker green as well):
hold on;
plot([1 num_trials], [3.5 3.5], '
color', [0 0.5 0]);

% Make it look pretty:
title('
average dice value against number of rolls');
xlabel('
trials');
ylabel('
mean value');
legend('
average', 'y=3.5');
axis([0 num_trials 1 6]);

定义

是相互独立,服从同一分布的随机变量序列,且具有数学期望 .作前 个变量的算数平均 ,则对于任意 ,有

证明

预备知识可参考前期文章:

切比雪夫不等式证明及应用

期望和方差的定义与性质

我们在随机变量的方差 存在,证明上述结果,由期望、方差和切比雪夫不等式可知

又由独立性得

由切比雪夫不等式可得

在上式中令 ,即得

是一个随机事件。等式(1)表明,当 时这个事件的概率趋于1.即对于任意正数 ,当 充分大时,不等式 成立的概率很大。通俗地说,辛钦大数定理是说,对于独立同分布且具有均值 的随机变量 ,当 很大时它们的算数平均 很可能接近于 .

预备知识可参考前期文章:

依概率收敛

由前期文章辛钦大数定理又可以叙述为 弱大数定理(辛钦大数定理) 设随机变量 相互独立,服从同一分布且具有数学期望 .则序列 依概率收敛于 ,即

参考文献

[1] 茆诗松, 程依明, 濮晓龙. 概率论与数理统计教程(第二版)[M]. 高等教育出版社, 2019.

[2] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 高等教育出版社, 2010.

[3] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B8%E6%B3%95%E5%89%87

分类:

数学

标签:

数学

作者介绍

herbie
V1

哈尔滨工业大学(深圳)