知识点 | 奇偶性

奇偶性和周期性是函数的整体性质，而单调性是函数是局部性质。

1 奇偶性运算与复合

1-1 四则运算

• 奇 奇 奇

助记： 是奇函数

• 偶 偶 偶

助记： 是偶函数

• 奇 奇 偶

助记： 是偶函数

• 偶 偶 偶

助记： 是偶函数

• 奇 偶 奇

助记： 是奇函数

• 奇 偶 非奇非偶

助记： 是非奇非偶函数

如图

注：任意一个非奇非偶函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和。

1-2 多层复合

一般来说，多个奇函数和偶函数之间的复合，只要其中有一层是偶函数，那么最后的结果一般是偶函数。

如果只是多个奇函数的复合，结果仍是奇函数。

例如： ，

则 外奇内偶

如图

则 外偶内奇

如图

则 外偶内偶

如图

则 外奇内奇

如图

---

2 常见奇函数图象

2-1 幂函数

，如： ， ，

如图

，如： ，

如图

2-2 幂函数的组合

对勾函数： ,

示例：

如图

飘带函数： ,

示例：

如图

反对勾函数： ,

示例：

如图

2-3 指数类函数

第一类

示例双曲正弦：

如图

第二类

可推广至

第三类

或者

示例双曲正切：

如图

第四类

示例：

如图

或者

示例：

如图

2-4 对数类函数

第一类

示例反双曲正切：

如图

示例：

如图

第二类

示例反双曲正弦：

如图

示例：

与反双曲正弦关于 轴对称

如图

2-5 三角函数

示例图象中 ,下同

正弦：

如图

正切：

如图

余切：

如图

余割：

如图

三角组合：

如图

2-6 双绝对值函数

可分类讨论来画图，也可利用绝对值的几何意义。

示例：

如图

---

3 常见偶函数图象

3-1 常函数

, ，如：

3-2 幂函数

，如： ， ，

如图

，如： ，

如图

注意： 与 图象不同， 是非奇非偶。

示例：

如图

3-3 指数类函数

一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，并只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线。

双曲余弦：

如图

3-4 对数类函数

示例：

如图

3-4 三角函数

余弦：

如图

正割：

如图

3-5 双绝对值函数

示例：

如图

3-6 其它类

根据复合函数内偶则偶的性质得出

先画出 的图象，再去左翻右

示例：

如图

示例：

如图

示例：

如图

示例：

如图